小学生の時に三角形についていろいろと教わるがいろいろと興味を惹かれたのが直角三角形．ことに三辺が3，4，5の三角形は直角三角形になるというのを聞いていたく感動した覚えがある．
いろいろと調べたり尋ねたりした結果，直角三角形の三辺には特別な関係があって，それは，
三辺の長さがa，b，cでcが斜辺になる直角三角形にはa2+b2=c2という式が成り立つ． (ア)
というものだった．
(ア)の定理を「三平方の定理」，もしくは発見者の名をとって「ピタゴラスの定理」という．この定理の証明は何百通りもあり，「最も多くの方法で証明された定理」ということがギネスブックに載っていたくらいである．その中でも有名なのが直角三角形の三辺に正方形を外接させて等積変形により証明するものや直角な頂点から対辺に垂線を下ろし，直角三角形の相似を利用するもの，正方形の中に，その正方形の一辺を斜辺に持つ直角三角形を四つ中に入れるもの等がある．
その中で相似を利用した証明をしてみよう．
∠Bが直角の直角三角形ABCの頂点Bから対辺ACへ垂線を下ろし，垂線の足をDとする．このとき△ABC∽△ADB∽BDCで，相似比がc：a：bなので面積比が
△ABC：△ADB：△BDC=c2：a2：b2…(1)
となる．また，
△ABC=△ADB+△BDC
なので(1)より
c2=a2+b2
といえる．
∴AC2=AB2+BC2．
実際最初に挙げた直角三角形でも32+42=25=52となる．では他に三辺が整数の直角三角形はないだろうか，といろいろと探してみたところ，ある本に，
m＞nを満たす自然数m，nに対し，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2とすればa，b，cを三辺に持つ三角形はcを斜辺とする直角三角形になる．(イ)
とあったのを見つけ，喜び勇んでいろんな数を代入して調べてみた．
といくらでも作れるのだ(付表参照)．(ア)の条件式に(イ)を代入してみると
となって任意の自然数m，nで三辺が整数の直角三角形が作れる．三辺が整数の直角三角形を「ピタゴラス三角形」と呼ぶことにする．
さて，今度は三角形の面積に目を向けてみる．小学校では「底辺×高さ÷2」という式を習うが，三辺の長さが与えれてて高さが与えられてない三角形の面積は先ほど述べた三平方の定理を用いて高さを無理やり出す必要がある．
これが「ヘロンの公式」と呼ばれる面積の公式である．
ヘロンの公式を使って面積を求めてて思ったことが，「三辺を整数にしててもなんで面積は√がつくんだろう」ということである．「では面積も整数になるのはどんなときだろう」というのがその直後の疑問だ．最初にあげた3・4・5のピタゴラス三角形は三辺，面積とも整数だ． (イ)式から面積は
となって，(イ)式から作られるピタゴラス三角形は面積が整数になる．ではそうでない三角形はないものか．
左図のような三辺が13，14，15の三角形をヘロンの公式で求めてみると，
より，
となる．
面積が整数になる直角三角形以外の三角形が見つかった．三辺の長さ，面積とも整数になる三角形を「ヘロン三角形」と呼ぶことにする．
実際，この三角形の高さは84×2÷14=12である．ということはこの三角形，左側に12・5・13のピタゴラス三角形，右側に3・4・5のピタゴラス三角形を3倍した9・12・15のピタゴラス三角形があってそれをつなげた形ということになるではないか(ポインタを三角形の上に移動させるとその図になります)． ではこんなのではどうか．
左図では
面積は
となる．
これも実は外側に15・8・17のピタゴラス三角形，内側に3・4・5を2倍した6・8・10のピタゴラス三角形をおいて差し引いた図形である(これもポインタを移動させると図が変わります)．
ヘロン三角形はすべてピタゴラス三角形の組合せばかりなのだろうか．それを三角比を用いて検証してみよう．
ヘロン三角形は三辺a，b，cと面積Sが整数である．したがって余弦定理から
が導かれ，∠Aの余弦が有理数であることが分かる．
また，面積の公式
を変形して
が導かれ，∠Aの正弦も有理数になる．
余弦，正弦とも有理数になったということは，A(または180゜-A)を鋭角に持つ直角三角形の三辺の比は整数比で表されることになる．BやCについても同様に余弦，正弦が有理数であることがいえるので，ヘロン三角形はピタゴラス三角形をうまく組み合わせた三角形であるといえる．
そうだったのか…ヘロン三角形は常にピタゴラス三角形を内包していたのか…というのを見つけたのはさすがに高校に入ってから．
今度はピタゴラス三角形，ヘロン三角形の性質を調べてみよう．
まずは，ピタゴラス三角形はすべて(イ)式で表しうることを示そう(すべて，というのは相似なものを同一視して考えたうえでのもの)．
三辺の長さa，b，cが公約数を持つなら，最大公約数をdとして
a=a'd，b=b'd，c=c'd
と表しうる．三平方の定理より
a2+b2=c2
だったのでこれを代入して
a'2d2+b'2d2=c'2d2
両辺をd2で割って
a'2+b'2=c'2
と表せる．またa'，b'，c'のうち二つに公約数が存在すれば残りの一つもその公約数を持たざるを得ないのでa'，b'，c'はどの二つも互いに素といえる．この「互いに素」の組について調べる．
どの二つも互いに素なa，b，cがa2+b2=c2を満たしているものとする．自然数nはnが偶数なら
n2≡0 (mod 4)
nが奇数なら
n2≡1 (mod 4)
なのでa，bがともに偶数，または奇数であることはない(両方とも奇数ならばc2≡2 (mod 4)となってしまい不可)．a，bのうち偶数のものをbとしても差し支えない．このとき三平方の定理より
b2=c2-a2=(c+a)(c-a)…(1)
a，cはともに奇数なのでc+a，c-aはともに偶数．そこで
b=2e，c+a=2f，c-a=2g
とおき(1)式に代入すると
4e2=4fg，e2=fg
また，aとcは互いに素だったのでfとgも互いに素でないといけない．なぜなら，仮にfとgに共通な素因数hがあればf=Fh，g=Ghと表せて
a=f-g=(F-G)h，c=f+g=(F+G)h
となって互いに素であることに反するからだ．
ということはf，gはともに平方数でなくてはならず，
f=m2，g=n2
とおくならば
a=f-g=m2-n2，c=m2+n2
とかけて
b2=4fg
から
b=2mn
が導かれ，(イ)式と一致する．
(イ)式は万能だったのだ．m，nを互いに素で，一方だけが偶数であるようにとればいくらでも新しい比のピタゴラス三角形が作れる．証明の中に出てきたとおりb=2mnでm，nのどちらか一方が偶数なのでb≡0 (mod 4)，したがって
a，b，cがa2+b2=c2をみたし互いに素ならばa，bのどちらか一方のみが4の倍数．(エ)
といえる．
同じように
a，b，cがa2+b2=c2をみたし互いに素ならばa，bのどちらか一方のみが3の倍数．(オ)
であることを示そう．
自然数nは，nが3の倍数ならばn2≡0 (mod 3)，nが3の倍数でなければn2≡1 (mod 3)である．a，bがともに3の倍数でないとすればa2+b2≡c2≡2 (mod 3)となり不合理だ．したがってa，bのどちらか一方のみが3の倍数である．
(エ)(オ)よりピタゴラス三角形の面積
はS≡0 (mod 6)(カ)
といえる．(カ)より，ピタゴラス三角形の組合せであったヘロン三角形の面積Tも
T≡0 (mod 6)(キ)
といえる．
次はヘロンの公式のちょっとした変形からこちらにも(イ)式みたいなものがないか探ってみる．
なんと，これらはヘロンの公式に出てきた項になってるじゃないか．これを利用してヘロンの公式を変形してみる．
ちょっと雰囲気が違う式ができた．ここで各x，y，zが整数になることと，(ク)式に何を代入してもいいことを確認しよう．
a，b，cのうち偶数は一つ，奇数は二つだったので
a+b+c≡0 (mod 2)
だ．したがって
-a+b+c=a+b+c-2a≡a+b+c≡0 (mod 2)
a-b+c=a+b+c-2b≡a+b+c≡0 (mod 2)
a+b-c=a+b+c-2c≡a+b+c≡0 (mod 2)
したがってこの三数は偶数となり，x，y，zが整数となることが保証された．
また，x，y，zを任意の自然数に取ったときに，三辺y+z，z+x，x+yは
-(y+z)+z+x+x+y=2x＞0
y+z-(z+x)+x+y=2y＞0
y+z+z+x-(x+y)=2z＞0
という不等式を満たす．すなわち三角不等式を満たすのでx，y，zを任意に決めてもそれに対応した三角形が必ず出来上がる．したがって任意の自然数x，y，zで(ク)式は意味を持つ．
三角不等式とは，与えられた三辺a，b，cで三角形ができる必要十分条件
-a+b+c＞0
a-b+c＞0
a+b-c＞0
のこと．
(ク)式を利用してヘロン三角形を探してみよう．ただし何でもかんでもOKというわけではない．
方針1：a，b，cが互いに素であるものを探したいから，x，y，zの最大公約数は1とする(これらのうち二つは共通の素因数を持ってもよいが残りのものはそれらの公約数と互いに素でないといけない)．
方針2：x≦y≦zとしても差し支えない(ただしx=y=zを除くためx＜z)．
方針3：式に登場する最大数x+y+zが素数のものは除かねばならない．なぜならx，y，zはそれより小さい素因数しか持たないからだ．
方針4：x+y+zが5以上の素数pの2倍ならばz=pしかありえない．素数の3倍ならばy=pかz=2pか．
方針5：zがx+y+zの半分より大きい素数の場合も除く．その素数はx，y，x+y+zの素因数になり得ないからだ．
方針6：(カ)よりxyz≡0 (mod 2)．そうでないと四つすべて奇数になってT≡0 (mod 2)にならない．
方針7：(キ)よりx，y，z，x+y+zのどれか二つが3の倍数，またはどれか一つが9の倍数でなくてはならない．
ではこれらの方針にのっとり，x+y+zの小さい物から順に調べていくと次のような例が見つかった．
| x | y | z | x+y+z | T2=xyz(x+y+z) | T | a=x+y，b=x+z，c=y+z (青字はピタゴラス三角形) |
| 1 | 2 | 3 | 6 | 36 | 6 | 3・4・5 |
| 2 | 3 | 3 | 8 | 144 | 12 | 5・5・6 |
| 1 | 4 | 4 | 9 | 144 | 12 | 5・5・8 |
| 2 | 3 | 10 | 15 | 900 | 30 | 5・12・13 |
| 1 | 3 | 12 | 16 | 576 | 24 | 4・13・15 |
| 1 | 8 | 9 | 18 | 1296 | 36 | 9・10・17 |
| 5 | 5 | 8 | 18 | 3600 | 60 | 10・13・13 |
| 3 | 5 | 12 | 20 | 3600 | 60 | 8・15・17 |
| 1 | 6 | 14 | 21 | 1764 | 42 | 7・15・20 |
| 6 | 7 | 8 | 21 | 7056 | 84 | 13・14・15 |
| 2 | 9 | 11 | 22 | 4356 | 66 | 11・13・20 |
| 3 | 7 | 14 | 24 | 7056 | 84 | 10・17・21 |
| 1 | 12 | 12 | 25 | 3600 | 60 | 13・13・24 |
| 8 | 8 | 9 | 25 | 14400 | 120 | 16・17・17 |
| 1 | 2 | 24 | 27 | 1296 | 36 | 3・25・26 |
| 2 | 10 | 15 | 27 | 8100 | 90 | 12・17・25 |
| 6 | 7 | 14 | 27 | 15876 | 126 | 13・20・21 |
| 3 | 4 | 21 | 28 | 7056 | 84 | 7・24・25 |
| 1 | 5 | 24 | 30 | 3600 | 60 | 6・25・29 |
| 2 | 3 | 27 | 32 | 5184 | 72 | 5・29・30 |
| 2 | 15 | 15 | 32 | 14400 | 120 | 17・17・30 |
| 7 | 7 | 18 | 32 | 28224 | 168 | 14・25・25 |
| 3 | 8 | 22 | 33 | 17424 | 132 | 11・25・30 |
| 8 | 9 | 17 | 34 | 41616 | 204 | 17・25・26 |
| 6 | 14 | 15 | 35 | 44100 | 210 | 20・21・29 |
| 7 | 10 | 18 | 35 | 44100 | 210 | 17・25・28 |
| 1 | 7 | 28 | 36 | 7056 | 84 | 8・29・35 |
| 1 | 18 | 19 | 38 | 12996 | 114 | 19・20・37 |
| 2 | 13 | 24 | 39 | 24336 | 156 | 15・26・37 |
| 1 | 15 | 24 | 40 | 14400 | 120 | 16・25・39 |
上にあげたヘロン三角形の例もちゃんと入ってる．
この表をみて気付くのがピタゴラス三角形の面積について，S=yzという関係が成り立っているということ．
または，
定理の形に書き直せば，
直角三角形ABCの内接円と斜辺BCとの接点をD，△ABCの面積をSとすればS=BD*CD．
となった．内接円を傍接円にしてもよい．なかなか面白い関係．
次はヘロンの公式の拡張である内接四角形の面積の公式．
A+C=180゜であることと，正弦による面積の公式，余弦定理から次のように計算してみる．
この式を知ったときにはえらく不思議に思ったもんだがこうやって書いてみるとなんか納得．ちなみにこの式でd=0とすれば
，
となってヘロンの公式がでてくるという自然な拡張になってる．さすがに五角形以上には拡張できないが．内接四角形の次は外接四角形の話．
逆に，(コ)が成り立てば四角形ABCDは円に外接するともいえる．したがって，四辺の長さを保ったまま四角形を変形して次のような四角形が作れるはずだ．
すなわち，左図のように四角形ABCDを円に内接し，かつ外接するようにできるのである．
なんと，面積が四辺の積の平方根になるのである．
となる内接四角形は内接・外接四角形(a+c=b+d)のほかにa+b=c+dとなる内接四角形(上の図で△ACD≡△CAEとなる点Eを外接円上に取ったもの)もある．(ク)式みたいなものを目指したのだがもっと単純な結果が得られた．なかなか内接・外接四角形というのはないのだがこのような面白い性質が隠されているのであった．付表 ピタゴラス三角形
(イ)式
a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2
にいろいろなm，nを代入してできるピタゴラス三角形です．
| m | n | a=m2-n2 | b=2mn | c=m2+n2 |
| 2 | 1 | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 2 | 5 | 12 | 13 |
| 4 | 1 | 15 | 8 | 17 |
| 4 | 3 | 7 | 24 | 25 |
| 5 | 2 | 21 | 20 | 29 |
| 5 | 4 | 9 | 40 | 41 |
| 6 | 1 | 35 | 12 | 37 |
| 6 | 5 | 11 | 60 | 61 |
| 7 | 2 | 45 | 28 | 53 |
| 7 | 4 | 33 | 56 | 65 |
| 7 | 6 | 13 | 84 | 85 |
| 8 | 1 | 63 | 16 | 65 |
| 8 | 3 | 55 | 48 | 73 |
| 8 | 5 | 39 | 80 | 89 |
| 8 | 7 | 15 | 112 | 113 |
| 9 | 2 | 77 | 36 | 85 |
| 9 | 4 | 65 | 72 | 97 |
| 9 | 8 | 17 | 144 | 145 |
| 10 | 1 | 99 | 20 | 101 |
| 10 | 3 | 91 | 60 | 109 |
| 10 | 7 | 51 | 140 | 149 |
| 10 | 9 | 19 | 180 | 181 |
| m | n | a=m2-n2 | b=2mn | c=m2+n2 |
| 11 | 2 | 117 | 44 | 125 |
| 11 | 4 | 105 | 88 | 137 |
| 11 | 6 | 85 | 132 | 157 |
| 11 | 8 | 57 | 176 | 185 |
| 11 | 10 | 21 | 220 | 221 |
| 12 | 1 | 143 | 24 | 145 |
| 12 | 5 | 119 | 120 | 169 |
| 12 | 7 | 95 | 168 | 193 |
| 12 | 11 | 23 | 264 | 265 |
| 13 | 2 | 165 | 52 | 173 |
| 13 | 4 | 153 | 104 | 185 |
| 13 | 6 | 133 | 156 | 205 |
| 13 | 8 | 105 | 208 | 233 |
| 13 | 10 | 69 | 260 | 269 |
| 13 | 12 | 25 | 312 | 313 |
| 14 | 1 | 195 | 28 | 197 |
| 14 | 3 | 187 | 84 | 205 |
| 14 | 5 | 171 | 140 | 221 |
| 14 | 9 | 115 | 252 | 277 |
| 14 | 11 | 75 | 308 | 317 |
| 14 | 13 | 27 | 364 | 365 |
| 15 | 2 | 221 | 60 | 229 |
| 15 | 4 | 209 | 120 | 241 |
| 15 | 8 | 161 | 240 | 289 |
| 15 | 14 | 29 | 420 | 421 |