その十四 小ネタ・正方形7等分

 某掲示板にあった「定木のみで正方形を7等分せよ」という問題を解いてみたのでその図解をしてみる.
(1)一辺の中点の作図
対角線 中点
正方形ABCDの対角線ACとBDとの交点をEとする(上・左図).
AB上にA,Bと異なる任意の点Fをとり,ACとDFとの交点をG,BGとEFとの交点をH,AHとBCとの交点をIとする.
このときIはBCの中点となっている(上・右図).

Iが中点になっている証明をしよう.
△ABEとそれを横切る直線DFについてメネラウスの定理を使うと
(AF/FB)・(BD/DE)・(EG/GA)=1・・・(ア)
が成り立つ.
また,△ABEとその内部の点Hについてチェヴァの定理を使うと
(AF/FB)・(BJ/JE)・(EG/GA)=1・・・(イ)
が成り立つ(JはBEとAHとの交点).
(ア)(イ)よりBD/DE=BJ/JE=2となり,JはBEの2:1内分点となる.
EはACの中点なのでJは△ABCの重心だということになり,AJとBCの交点IはBCの中点とわかる.


(2)さらに半分
1/4 4等分
IEとADとの交点をKとすればKはADの中点となる.
KJとBCとの交点をLとすればLはBIの中点となる.(上・左図)

△AJD∽△IJBであり,AJ/JI=DJ/JB=2なのでAJ:JI=2:1.
△AJK∽△IJLでもあるのでAK:IL=AJ:JI=2:1.したがってLはBIの中点.


同様の方法でAD,BCの4等分点をつくる.
AKの中点をM,KDの中点をN,ICの中点をOとする.(上・右図)

(3)一辺の3等分
3等分
BKとACとの交点をP,CKとBDとの交点をQとし,PQとAB,CDとの交点をそれぞれR,Sとする.
また,IDとACとの交点をTとし,JTとAB,CDとの交点をそれぞれU,Vとする.
このときR,UはABを,またV,SはCDを3等分する.

KP:PB=KQ:QC=1:2,IJ:JA=IT:TD=1:2であることよりR,UはABを,V,SはCDを3等分する.


(4)1/7の作図
7等分17等分2
ACとMR,KU,NB,DL,SI,VOとの交点をW,X,Y,Z,A',B'とすれば,これらの点はACを7等分する(上・左図).
同様にBDとNS,KV,MC,AO,RI,ULとの交点はBDを7等分する(上・右図).

△AYN∽△CYBで,AY:CY=AN:CB=3:4より,YはACを3:4に内分する.
△ABNのAB,ANを3等分するRとM,UとKとを結ぶと線分AYが3等分されAWはACの1/7となる.
同様にAW=WX=XY=・・・=B'Cとなり,ACが7等分された.
BCについても同様に7等分される.


(5)仕上げ
7等分完成図
(4)で得られた点を上から順に横に結んでいくと短冊状に正方形が7等分される.


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